复合函数的定义域

深入理解复合函数的定义域，首先需要从内层函数开始其所有可能的值域。这就像是寻找一张地图上的某个点可以到达的所有地方，内层函数就是这张地图，它告诉我们哪些点可以访问。我们将这些可访问的点集合定义为内层函数的定义域，记作 \(D_g\)。每一个在这些定义域内的点 \(x\) 都会带入一个具体的值 \(g(x)\)。这些值构成的集合可以理解为复合函数中的“中间站”。对于外层函数而言，同样存在一个定义域 \(D_f\)，即允许进入并处理的值域范围。对于复合函数来说，真正重要的点就在于寻找那些可以“从内层函数的定义域出发，然后安全到达外层函数的定义域”的 \(x\) 值。这实际上是解决一道特殊的约束问题。要求每一组满足这个条件的 \(x\) 值不仅要确保自身处于内层函数的定义域中，还需要确保通过内层函数映射后的值处于外层函数的定义域中。这就像是找到一条路径，这条路径既要满足起点在地图的某个特定区域，也要保证终点在另一个特定区域。以具体的例子来说，假设我们有内层函数 \(g(x) = \frac{1}{x-3}\)，其定义域为 \(x eq 3\)，这意味着我们不能选择那些使得分母为零的 \(x\) 值。而外层函数 \(f(x) = \sqrt{x+5}\)，它的定义域是 \(x \geq -5\)，也就是说只有当 \(x\) 的值大于或等于 -5 时，这个值才能被外层函数接受。那么复合函数 \(f(g(x))\) 的定义域就是那些满足 \(x\) 在内层函数定义域内且通过内层函数映射后的值在外层函数定义域内的所有 \(x\) 值。换句话说，我们需要找到那些使得不等式 \(\frac{1}{x-3} + 5 \geq 0\) 成立的值。通过这种方式解出所有符合条件的 \(x\) 值后，我们得到了复合函数的定义域为所有满足特定条件的 \(x\) 值集合。复合函数的定义域可以简洁地表示为：所有满足内层函数定义域且内层函数输出值在外层函数定义域中的 \(x\) 值构成的集合。这样的表述方式既保持了原意的完整性，也提供了更生动、具体的理解方式。